设函数f在(a，b)上连续，且f(a+0)=f(b-0)=+∞．证明f在(a，b)内能取到最小值．

admin2022-10-31 32

问题设函数f在(a，b)上连续，且f(a+0)=f(b-0)=+∞．证明f在(a，b)内能取到最小值．

选项

答案存(a，b)内任取一点x₀，因为f(a+0)＝[*]f(x)=+∞,取M=｜f(x₀)｜，则存在δ₁＞0，使得当a＜x＜a+δ₁时，有f(x)＞｜f(x₀)I≥f(x₀)．同理，[*]δ₂＞0，使得当b-δ₂＜x＜b时，有f(x)＞｜f(x₀)｜≥f(x₀)．由f在(a，b)上连续可知，f在[*]上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f在[*]上有最小值点ξ，即[*]，对一切x∈[*]都有f(x)≥f(ξ)．综上知，f在(a，b)内能取得最小值．

解析

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考研数学三

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