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  3. 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?

在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?

admin2020-03-05  57
问题 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?
选项
答案用拉格朗日乘子法．令 F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+(x2+y2－z)+μ(x+y+z－1)， 解方程组 [*] 由前三个方程得x=y，代入后两个方程得[*]解得x=y=[*]．记 M1[*]，可算得 g(M1)=9－5[*]． 从实际问题看，函数g的条件最大与最小值均存在，所以g在点M1，M2分别达到最小值和最大值，因而函数f在点M1，M2分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M1处最大，在点M2处最小．
解析 当负点电荷在点(x，y，z)处时，两电荷间的引力大小为f(x,y，z)=．负点电荷又在椭圆上，于是问题化为求函数f(x，y，z)在条件x2+y2－z=0，x+y+z－1=0下的最大值和最小值．
为简单起见，考虑函数g(x，y，z)=x2+y2+z2，f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍数)．于是问题又化为求函数g(x，y，z)=x2+y2+z2在条件x2+y2－z=0，x+y+z－1=0条件下的最大值和最小值．
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考研数学一

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