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设函数f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,在(0,1)内二阶可导且f"(x)<0,记M=max>0. 证明对任意正整数n,存在唯一的xn∈(0,1)。使得f’(xn)=M/N;
设函数f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,在(0,1)内二阶可导且f"(x)<0,记M=max>0. 证明对任意正整数n,存在唯一的xn∈(0,1)。使得f’(xn)=M/N;
admin
2021-04-07
49
问题
设函数f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,在(0,1)内二阶可导且f"(x)<0,记M=max
>0.
证明对任意正整数n,存在唯一的x
n
∈(0,1)。使得f’(x
n
)=M/N;
选项
答案
记x
0
为[0,1]上f(x)的最大值点,又f(0)=f(1)=0,则M=f(x
0
)>0,x
0
∈(0,1),且由费马定理,有f’(x
0
)=0,在[0,x
0
]上对f(x)应用拉格朗日中值定理,得 [*] 对任意正整数n,0<M/n<M/x
0
,即f’(x
0
)<M/n<f’(ξ),又由于f’(x)在[ξ,x
0
]上连续,故由介值定理,存在x
n
∈(ξ,x
0
)[*](0,1),使得f’(x
n
)=M/n,又f"(x)<0,f’(x)严格单调减少,故x
n
唯一。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/AEy4777K
0
考研数学二
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