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设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=一1nf(x)dx(n=1,2,…).证明: 反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.
设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=一1nf(x)dx(n=1,2,…).证明: 反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.
admin
2015-07-22
101
问题
设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,a
n
=
一
1
n
f(x)dx(n=1,2,…).证明:
反常积分∫
1
+∞
f(x)dx与无穷级数
同敛散.
选项
答案
由于f(x)非负,所以∫
1
x
f(t)dt为x的单调增加函数.当n≤x≤n+1时, ∫
1
n
f(t)dt≤∫
1
x
f(t)dt≤∫
1
n+1
f(t)dt,所以 [*] 从而推知 [*]
解析
由f(x)单调减少,当k≤x≤k+1时,可以写出关于f(x)的一个不等式,两边从k到k+1积分,便可得到关于a
n
的一个表达式.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/A5U4777K
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考研数学三
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