[2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．

admin2019-04-28 68

问题 [2003年] 设α₁，α₂，…，α₃均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．

选项 A、若对于任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，都有k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s≠0，则α₁，α₂，…，α_s线性无关
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，有k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0
C、α₁，α₂，…，α_s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s
D、α₁，α₂，…，α₃线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

答案B

解析解一 (A)正确．事实上，若α₁，α₂，…，α₃线性相关，则存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s使得k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0．这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题．可见(A)成立．
若α₁，α₂，…，α_s线性相关，由其定义知，存在一组而不是任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s使得k₁α₁+k₂α_s+…+k_sα_s=0．(B)不成立．由“向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关的充要条件是秩([α₁，α₂，…，α_s])=s”知，(C)也成立．因α₁，α₂，…，α_n线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关．当然其中任意两个向量也线性无关，(D)也成立．仅(B)入选．
解二可举反例证明(B)不正确：向量组α₁=[1，0]^T，α₂=[4，0]^T线性相关，但对于一组不全为零的常数k₁=1，k₂=0，却有k₁α₁+k₂α₂=α₁=[1，0]^T≠0．

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考研数学三

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