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  3. 设f(x)二阶可导，且[f(x)－1]／x＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf”(x)＋2f’(ξ)＝0．

设f(x)二阶可导，且[f(x)－1]／x＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf”(x)＋2f’(ξ)＝0．

admin2021-08-31  12
问题 设f(x)二阶可导，且[f(x)－1]／x＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf”(x)＋2f’(ξ)＝0．
选项
答案由[*][f(x)－1]／x＝0得，f(0)＝1，f’(0)＝0， f(0)＝f(1)＝l，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)＝0． 令φ(x)＝x2f’(x)， φ(0)＝φ(c)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝2xf’(x)＋x2f”(x)，于是2ξf’(ξ)＋ξ2f”(ξ)＝0， 再由ξ≠0得ξf”(ξ)＋2f’(ξ)＝0．
解析
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考研数学一

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