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(03年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b的值; (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正
(03年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b的值; (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正
admin
2021-01-25
89
问题
(03年)设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX=aχ
1
2
+2χ
2
2
-2χ
3
2
+2bχ
1
χ
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1)求a,b的值;
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
(1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则由题设,有 [*] 由此解得a=1,b=2. (2)由A的特征多项式 [*] 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E-A)χ=0,由 [*] 得基础解系 ξ
1
=(0,1,0)
T
,ξ
2
=(2,0,1)
T
. 对于λ
3
=-3,解齐次线性方程组(-3E—A)χ=0,由 [*] 得基础解系 ξ=(1,0,-2)
T
. ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,将它们单位化,得 e
1
=(0,1,0)
T
,[*] 令矩阵 P=[e
1
e
2
e
3
]=[*] 则P为正交矩阵,且有 P
-1
AP=P
T
AP=[*] 二次型f在正交变换χ=py下的标准形为 f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
解析
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考研数学三
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