设A，B均为二阶或三阶矩阵，A可逆并且 A2+AB+B2=O．试证：B和A+B都是可逆矩阵．

admin2018-09-07 121

问题设A，B均为二阶或三阶矩阵，A可逆并且
A²+AB+B²=O．
试证：B和A+B都是可逆矩阵．

选项

答案由已知条件可知B²+AB=一A²，进一步有 (B+A)B=一A²，两边取行列式得 |B+A||B|=|—A||A|，因为A可逆，所以一A也可逆，从而|A|≠0，|—A|≠0．因此， |B+A||B|≠0，于是|B|≠0以及|B+A|≠0，因此，B和A+B都是可逆矩阵．

解析

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高等数学（工专）

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