从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度

admin2016-10-26 67

问题从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为V，海水的比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比．比例系数为K(K＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系y=y(v)．

选项

答案取沉放点为坐标原点D，Oy轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m[*]=mg－ρV－kv．由于v=[*]，所以，此方程是一个既不显含自变量￡，又不显含未知函数y的二阶方程，按照常规的办法．可以令v为未知函数，得到v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是v与时间t的关系．然而题目所要求的是y与v的关系，注意[*]v，所以应将方程改写为 mv[*]mg－ρv．直接求积分，则有y=[*]ln(H－kv)+C．再由题设，其初始条件应为v｜_y=0=0，由此可定出C=[*]lnH，故所求的关系 [*]

解析

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考研数学一

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考研数学一

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