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  3. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（ ）

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（ ）

admin2019-03-11  75
问题 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（     ）
选项 A、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关
B、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关
C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关
D、α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性无关
答案C
解析 因向量组α1，α2，α3，α4线性无关，所以由向量组α1，α2，α3，α4到向量组α1+α2，α2+
α3，α3+α4，α4一α1的过渡矩阵

即
（α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1）=（α1，α2，α3，α4）A。
由于|A|=2≠0，所以过渡矩阵A可逆，故向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关。所以选C。
类似地，可以判断其他三个选项中的过渡矩阵均不可逆，所以选项A，B，D中的向量组均线性相关。
排除法
通过观察可知
（α1一α2）+（α2一α3）+（α3一α4）+（α4一α1）=0，
（α1+α2）一（α2+α3）+（α3+α4）一（α4+α1）=0，
（α1+α2）一（α2+α3）+（α3一α4）+（α4一α1）=0，
即选项A，B，D中的向量组均线性相关，所以选C。
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考研数学三

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