设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M={｜f(x)｜)}．证明： ∫01[f(x)+x(1-x)f”(x)]dx=0．

admin2022-04-27 123

问题设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M=

{｜f(x)｜)}．证明：
∫₀¹[f(x)+

x(1-x)f”(x)]dx=0．

选项

答案由于 ∫₀¹x(x-1)f”(x)dx=∫₀¹x(x-1)d[f’(x)] =(x²-x)f’(x)｜x₀¹-∫₀¹(2x-1)f’(x)dx =-∫x₀¹(2x-1)f’(x)dx=-(2x-1)f(x)｜x₀¹+2∫x₀¹f(x)dx =2∫x₀¹f(x)dx，故∫x₀¹[f(x)+[*]x(1-x)f”(x)]dx=0．

解析

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考研数学三

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