2. 考研
  3. 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )

设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )

admin2019-01-15  125
问题 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为(    )
选项 A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)
B、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)
C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]
D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1
答案D
解析 因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为所对应齐次方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。
根据非齐次线性方程通解的结构，方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为
C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)，
也就是C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1。故选D。
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考研数学三

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