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设f(x)在[a,b]上二阶可导,且恒有f’’(x)<0,证明:若方程f(x)=0在(a,b)内有根,则最多有两个根.
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且恒有f’’(x)<0,证明:若方程f(x)=0在(a,b)内有根,则最多有两个根.
admin
2018-10-17
71
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且恒有f
’’
(x)<0,证明:若方程f(x)=0在(a,b)内有根,则最多有两个根.
选项
答案
按题意,不需要证明根的存在性,只需证明f(x)=0若在(a,b)内有根,则最多有两个根. 用反证法,设f(x)在(a,b)内有三个根x
1
,x
2
,x
3
,且设a<x
1
<x
2
<x
3
<b,即有 f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=0, 现分别在区间[x
1
,x
2
]与[x
2
,x
3
]上应用罗尔定理,有 f
’
(ζ
1
)=0,ζ
1
∈(x
1
,x
2
);f
’
(ζ
2
)=0,ζ
2
∈(x
2
,x
3
), 又f
’
(x)在[ζ
1
,ζ
2
]上也显然满足罗尔定理条件,于是有f
’’
(ζ)=0,ζ∈(ζ
1
,ζ
2
)[*](a,b),这与假设f
’’
(x)<0矛盾,故f(x)=0在(a,b)内最多有两个根.
解析
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本试题收录于:
高等数学一题库成考专升本分类
0
高等数学一
成考专升本
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