2. 考研
  3. 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程 (2x-1)y”-(2x+1)y’+2y=0 的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程 (2x-1)y”-(2x+1)y’+2y=0 的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．

admin2022-09-22  116
问题 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程
    (2x-1)y”-(2x+1)y’+2y=0
    的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
选项
答案由y2(x)=u(x)ex，得y’2=(u’+u)ex，y”2=(u”+2u’+u)ex． 由于y2(x)=u(x)ex是方程(2x-1)y”-(2x+1)y’的解，将y’2，y”2代入方程，得 (2x-1)u”+(2x-3)u’=0． 令p(x)=u’(x)，P’(x)=u”(x)，则有 (2x-1)P’+(2x-3)p=0， 解得p(x)=c1(2x-1)e-x，即du／dx=c1(2x-1)e-x． 因此u(x)=∫c1(2x-1)e-xdx=-c1(2x+1)e-x+c2． 又u(-1)=e，u(0)=-1，可得c1=1，c2=0． 则u(x)=-(2x+1)e-x．原微分方程的通解为 y(x)=C1ex+C2(2x+1)(C1，C2为任意常数)．
解析
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考研数学二

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