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设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且 Aα1=α1一α2+3α3, Aα2=4α1一3α2+5α3, Aα3=0. 求矩阵A的特征值和特征向量.
设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且 Aα1=α1一α2+3α3, Aα2=4α1一3α2+5α3, Aα3=0. 求矩阵A的特征值和特征向量.
admin
2016-10-26
85
问题
设A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是3维线性无关的列向量,且
Aα
1
=α
1
一α
2
+3α
3
, Aα
2
=4α
1
一3α
2
+5α
3
, Aα
3
=0.
求矩阵A的特征值和特征向量.
选项
答案
由Aα
3
=0=0α
3
,知λ=0是A的特征值,α
3
是λ=0的特征向量. 由已知条件,有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
一α
2
+3α
3
,4α
1
一3α
2
+5α
3
,0) =(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记P=(α
1
,α
2
,α
3
),由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,知矩阵P可逆,进而 P
-1
AP=B, 其中B=[*] 因为相似矩阵有相同的特征值,而矩阵B的特征多项式 [*] 所以矩阵A的特征值是:一1,一1,0. 对于矩阵B, [*] 所以矩阵B关于特征值λ=-1的特征向量是β=(一2,1,1)
T
. 若Bβ=λβ,即(P
-1
AP)β=λβ,亦即A(Pβ)=λ(Pβ),那么矩阵A关于特征值λ=-1的特征向量是 Pβ=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=-2α
1
+α
2
+α
3
. 因此K
1
(一2α
1
+α
2
+α
3
),K
2
α
3
分别是矩阵A关于特征值λ=一1和λ=0的特征向量,(K
1
K
2
≠0).
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/8Fu4777K
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考研数学一
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