2. 考研
  3. 设f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)有n阶连续导数，且f(k)(χ0)＝0，k＝2，3，…，n－1；f(n)(χ0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0＋θh)，(0＜θ＜1)．求证：．

设f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)有n阶连续导数，且f(k)(χ0)＝0，k＝2，3，…，n－1；f(n)(χ0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0＋θh)，(0＜θ＜1)．求证：．

admin2018-11-11  48
问题 设f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)有n阶连续导数，且f(k)(χ0)＝0，k＝2，3，…，n－1；f(n)(χ0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0＋θh)，(0＜θ＜1)．求证：．
选项
答案这里m＝1，求的是f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0＋θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f′(χ0＋θh)在χ＝χ0展成带皮亚诺余项的n－1阶泰勒公式得 [*] 代入原式得 f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0)＋[*]f(n)(χ0)θn-1hn＋o(hn) ① 再将f(χ0＋h)在χ＝χ0展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(χ0＋h)－f(χ0)＝f′(χ0)h＋…＋[*]f(n)(χ)hn＋o(hn) ＝f′(χ0)h＋[*]f(n)(χ0)hn＋o(hn)(h→0) ② 将②代入①后两边除以hh得 [*]
解析
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考研数学二

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