小刚与小红共同生活了十年，但一直没有办理结婚手续。婚后小红的工资支付两人全部的生活费用，小刚的工资用于偿还买房的贷款。由于没有结婚证，房屋的产权人一直使用小赵的名字。现二人提出分手，该住房( )。