2. 考研
  3. (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

(03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2018-08-01  81
问题 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案必要性 设三直线交于一点(0，y0)，则[x0，y0，1]T为方程组Ax=0的非零解，其中矩阵 [*] 于是有｜A｜=0，而 ｜A｜=[*]=-6(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ac] =-3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 但(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，故得a+b+c=0． 充分性 设a+b+c=0．考虑线性方程组 [*] 对其增广矩阵作初等行变换，得 [*] 可知方程组(*)等价于方程组 [*] 因为[*]=2(ac-b2) (将c=-a-b代入) =-2[a(a+b)+b2]=-[a2+b2+(a+b)2]≠0． 故方程组(**)有惟一解，所以方程组(*)有惟一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学二

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