求下列一阶常系数线性差分方程的通解： (Ⅰ)4yt+1+16yt=20； (Ⅱ)2yt+1+10yt一5t=0； (Ⅲ)yt+1一2yt=2t； (Ⅳ)yt+1—yt=4cos

admin2017-10-23 73

问题求下列一阶常系数线性差分方程的通解：
(Ⅰ)4y_t+1+16y_t=20；
(Ⅱ)2y_t+1+10y_t一5t=0；
(Ⅲ)y_t+1一2y_t=2^t；
(Ⅳ)y_t+1—y_t=4cos

选项

答案(Ⅰ)方程可化简为y_t+1+4y_t=5．由于a=4，可得对应齐次方程的通解为C(一4)^t，自由项f(t)=5是零次多项式，由于a+1≠0，应设非齐次方程的特解y_t^*=B，B待定．代入方程可得B=1．于是，方程的通解为y_t=1+C(一4)^t． (Ⅱ)类似于(Ⅰ)，可化简方程为y_t+1+5y_t=[*]，对应齐次方程的通解为C(一5)^t，非齐次方程的特解应具有形式y_t^*=A+Bt，代入原方程可得A=一[*]。于是，原方程的通解为y_t=[*]+C(一5)^t． (Ⅲ)由于a=一2，f(t)=2^t，因此可设特解具有形式y_t^*=At2^t，代入方程可确定A=[*]．显然对应齐次方程的通解为C2^t，故原方程的通解为y_t=(C+[*])2^t． (Ⅳ)由于其特解应具有形式y_t=B₀cos[*]，因此原方程的通解为y_t=一2cos[*]t+C．

解析

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考研数学三

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求下列一阶常系数线性差分方程的通解： (Ⅰ)4yt+1+16yt=20； (Ⅱ)2yt+1+10yt一5t=0； (Ⅲ)yt+1一2yt=2t； (Ⅳ)yt+1—yt=4cos

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