过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为1／12，求： (Ⅰ)切点A的坐标； (Ⅱ)过切点A的切线方程； (Ⅲ)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．

admin2018-06-15 94

问题过曲线y=x²(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为1／12，求：
(Ⅰ)切点A的坐标；
(Ⅱ)过切点A的切线方程；
(Ⅲ)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．

选项

答案如图3．9．(I)设点A(x₀，x₀²)，点A处的切线方程 [*] y=x₀²+2x₀(x－x₀)，即y=2x₀x－x₀²．令y=0[*]截距x=x₀／2．按题意 [*] 解得x₀=1[*]A(1，1)． (II)过A点的切线y=2x－1． (Ⅲ)旋转体体积V=π∫₀¹(x²)²dx－[*]

解析

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考研数学一

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求
求微分方程y’’(3y’2-x)=y’满足初值条件y(1)=y’(1)=1的特解．
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