(2006年试题，21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=O的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A.

admin2013-12-27 47

问题 (2006年试题，21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=O的两个解．
求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A.

选项

答案因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，故只需再得α₁，α₂正交化．取β₁=α₁=(一1，2，一1)^T，[*]再将α，β₁，β₂单位化得[*]令Q=[r₁,r₂,r₃]，则Q^-1=Q^T，由A足实对称矩阵必可相似对角化，得[*]

解析

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考研数学一

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