(10年)(Ⅰ)比较∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]ndt与∫01tn｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un＝∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]ndt (n＝1，2，…)，求极限．

admin2021-01-25 105

问题 (10年)(Ⅰ)比较∫₀¹｜lnt｜[ln(1＋t)]ⁿdt与∫₀¹tⁿ｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由；
(Ⅱ)记u_n＝∫₀¹｜lnt｜[ln(1＋t)]ⁿdt (n＝1，2，…)，求极限

．

选项

答案(Ⅰ)当0≤t≤1时，因为ln(1＋t)≤t，所以｜lnt｜[ln(1＋t)]ⁿ≤tⁿ｜lnt｜，因此∫｜lnt｜[ln(1＋t)]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ｜lnt｜dt． (Ⅱ)由(Ⅰ)知0≤u_n＝∫₀¹｜lnt｜[ln(1＋t)]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ｜lnt｜dt．因为[*]，所以 [*] 从而[*]＝0．

解析

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考研数学三

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