2. 考研
  3. 已知矩阵A= (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

已知矩阵A= (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

admin2021-01-19  145
问题 已知矩阵A=
(Ⅰ)求A99；
(Ⅱ)设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
选项
答案(Ⅰ)利用方阵A的相似对角化来求方阵A的幂，为此先来求A的特征值与特征向量，由|λE 一A|=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0． 得A的全部特征值为λ1=0，λ2=一1，λ3=一2，对于特征值λ1=0，解方程组Ax=0，得对应的特征向量ξ1=(3，2，2)T，对于特征值λ2=一1，解方程组(一E一A)x=0，得对应的特征向量ξ2=(1，1，0)T，对于特征值λ3=一2，解方程组(一2E一A)x=0，得对应的特征向量ξ3=(1，2，0)T， 令矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*] 于是得 A99=(PDP一1)99= PD99P一1 [*] (Ⅱ)因为B2=BA，所以 B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=…=BA99． 即 (β1，β2，β3)=(α1，α2，α3) [*]
解析 利用方阵的对角化来求方阵的幂，是特征值与特征向量的一种重要应用，本题综合考查方阵特征值与特征向量的计算及其应用、以及矩阵的运算和应用．在本题(Ⅰ)中，矩阵P和D都不是唯一的，但只要运算正确，则求出的A99是唯一的．在本题(Ⅱ)中，要求一组数cij(i，j=1，2，3)，使得βj=c1jα1+c2jα2+c3jα3=(α1，α2，α3)(j=1，2，3)，写成矩阵形式就是(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)，即B100= BC，因此问题归结为求满足B100=BC的矩阵C，于是自然想到要利用题设条件B2=BA和本题(Ⅰ)的结论．
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考研数学二

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