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(16年)已知函数f(x)在的一个原函数,且f(0)=0. (I)求f(x)在区间上的平均值; (Ⅱ)证明f(x)在区间内存在唯一零点.
(16年)已知函数f(x)在的一个原函数,且f(0)=0. (I)求f(x)在区间上的平均值; (Ⅱ)证明f(x)在区间内存在唯一零点.
admin
2021-01-19
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问题
(16年)已知函数f(x)在
的一个原函数,且f(0)=0.
(I)求f(x)在区间
上的平均值;
(Ⅱ)证明f(x)在区间
内存在唯一零点.
选项
答案
(I)f(x)在区间[*]上的平均值 [*] 当0<x<[*]因为f’(x)<0,所以f(x)<f(0)=0,故f(x)在[*]内无零点,且[*] 由积分中值定理,存在[*].使得f(x
0
)=[*]由于当[*]f(x)<0,所以[*] 根据连续函数介值定理,存在[*],使得f(ξ)=0.又因为当[*]f’(x)>0,所以f(x)在[*]内至多只有一个零点. 综上所述,f(x)在[*]内存在唯一的零点.
解析
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考研数学二
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