(18年)已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (1)求f(x)； (2)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1．求a的值．

admin2018-07-27 81

问题 (18年)已知连续函数f(x)满足∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=ax²．
(1)求f(x)；
(2)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1．求a的值．

选项

答案(1)令u=x—t，则 ∫₀^xtf(x-t)dt=∫₀^x(x-u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du 由题设知 ∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du=ax²．对上式两端求导得 f(x)+∫₀^xf(u)du=2ax 所以f(x)可导，f(0)=0，且 f’(x)+f(x)=2a 于是， f(x)=e^-x(C+∫2ae^xdx)=Ce^-x+2a．由f(0)=0，得C=-2a，从而f(x)=2a(1一e^-x)． (2)∫₀¹2(1-e^-x)dx=[*]

解析

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