设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

admin2018-04-15 104

问题设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵．试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB)x＞0，即 (Bx)^TA(Bx)＞0 于是Bx≠0．因此，取=0只有零解，从而有r(B)=n．充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意实n维列向量x≠0．有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)=x^T(B^TAB)x＞0．于是当x≠0时，x^T(B^TAB)x＞0．故B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/6ar4777K

考研数学一

相关试题推荐

若视∑为曲面x2＋y2＋z2＝a2(y≥0，z≥0)的上侧，则当f(x，y，z)为下述选项中的函数()，曲线积分。
已知随机变量X的概率分布P(X＝k)＝，其中λ＞0，k＝1，2，…，则E(X)为()。
设x2＞x1＞0，证明＝sinξ－ξcosξ(x1＜ξ＜x2)。
设f(u，υ)具有连续偏导数，且f’u(u，υ)+f’u(u，υ)=sin(u+υ)eu+υ，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
已知α=(a，1，1)T是矩阵的逆矩阵的特征向量，那么a=________。
线性方程组有公共的非零解，求a，b的值和全部公共解。
微分方程yy"+y’2=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=的特解是_________．
设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．(2)证明当t＞0时，F(t)＞G(t)．
求曲面4z=3x2+3y2一2xy上的点到平面x—y—z=1的最短距离．
独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．

随机试题

根据以下资料，回答问题。表中所列食品类别中，2021年第一季度所有抽检样本全部合格的有几类?
外痔的表现特点是
A．按季度向国家药品不良反应监测专业机构报告B．应分析评价后及时报告C．进行核实，于3日内向国家药品不良反应监测专业机构报告D．15个工作日内报告E．每季度向国家食品药品监督管理局和卫生部报告省、自治区、直辖市药品不良反应监测专业机构收到严重或
乳浊液型药剂属于下列哪一种剂型分类法()
按照《合同法》规定，与合同转让中的“债权转让”比较，“由第三人向债权人履行债务”的主要特点表现为(　　)。
关于进口设备的交货方式，下列说法中正确的是()。
下列项目不符合资源税的有关规定的有()。
老年人的主要心理需求包括()。
根据唯物史观，对于国家的概括、表述正确的有
SQL语言具有对数据定义、查询、操作和______等4个方面的功能。

最新回复(0)

设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

考研数学一

若视∑为曲面x2＋y2＋z2＝a2(y≥0，z≥0)的上侧，则当f(x，y，z)为下述选项中的函数()，曲线积分。

已知随机变量X的概率分布P(X＝k)＝，其中λ＞0，k＝1，2，…，则E(X)为()。

设x2＞x1＞0，证明＝sinξ－ξcosξ(x1＜ξ＜x2)。

设f(u，υ)具有连续偏导数，且f’u(u，υ)+f’u(u，υ)=sin(u+υ)eu+υ，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

已知α=(a，1，1)T是矩阵的逆矩阵的特征向量，那么a=________。

线性方程组有公共的非零解，求a，b的值和全部公共解。

微分方程yy"+y’2=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=的特解是_________．

设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．(2)证明当t＞0时，F(t)＞G(t)．

求曲面4z=3x2+3y2一2xy上的点到平面x—y—z=1的最短距离．

独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．

根据以下资料，回答问题。表中所列食品类别中，2021年第一季度所有抽检样本全部合格的有几类?

外痔的表现特点是

乳浊液型药剂属于下列哪一种剂型分类法()

按照《合同法》规定，与合同转让中的“债权转让”比较，“由第三人向债权人履行债务”的主要特点表现为( )。

关于进口设备的交货方式，下列说法中正确的是()。

下列项目不符合资源税的有关规定的有()。

老年人的主要心理需求包括()。

根据唯物史观，对于国家的概括、表述正确的有

SQL语言具有对数据定义、查询、操作和______等4个方面的功能。

按照《合同法》规定，与合同转让中的“债权转让”比较，“由第三人向债权人履行债务”的主要特点表现为(　　)。