求微分方程y"+4y’+4y=eax的通解．

admin2022-11-02 20

问题求微分方程y"+4y’+4y=e^ax的通解．

选项

答案特征方程为λ²+4λ+4=0，特征值为λ₁-λ₂=-2，则原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^-2x．当a≠-2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y₀(x)=Ae^ax，代入原方程得A=1/(a+2)²，则原方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^-2x+1/(a+2)²e^ax(C₁，C₂为任意常数)；当a=-2时，因为a=-2为二重特征值，所以设原方程的特解为y₀(x)=Ax²e^-2x，代入原方程得A=1/2，则原方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^-2x+1/2x²e^-2x(C₁，C₂为任意常数)．

解析

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