设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的．

admin2016-10-26 87

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k－1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A^k－1α是线性无关的．

选项

答案(定义法，同乘) 设有常数l₁，l₂，…，l_k，使得 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k－1α=0，用A^k－1左乘上式，得A^k－1(l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k－1α)=0．由A^kα=0，知A^k+1α=A^k+2α=…=0，从而有l₁A^k－1α=0．因为A^k－1α≠0，所以l₁=0．类似可证l₂=l₃=…=l_k=0，故向量组α，Aα，…，A^k－1α线性无关．

解析

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考研数学一

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