2. 考研
  3. 设A为n阶矩阵，∣A∣≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值________．

设A为n阶矩阵，∣A∣≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值________．

admin2021-01-19  13
问题  设A为n阶矩阵，∣A∣≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值________．
选项
答案 视(A*)2+E=f(A*)，只要求出A*的特征值即可利用命题2．5．1．11(3)求得(A*)2+E的特征值．由命题2．5．1．11(6)即可求得A*的特征值．另外也可用定义求之． 解一 由命题2．5．1．1 1(6)知，A*有一特征值μ=∣A∣／λ．再由同一命题(3)知，(A*)2+E=f(A*)必有一特征值，即f(μ)=μ+1=(∣A∣／λ)2+1=(λ2+∣A∣2)／λ2． 解二 因λ为A的特征值，则存在对应于λ的A的特征向量α，使Aα=λα．两端左乘A*，利用A*A=∣A∣E，得到∣A∣α=λA*α．因A可逆，故λ≠0．于是 A*α=(∣A∣／λ)α． 两边左乘A*，得到 (A*)2α=(∣A∣／λ)A*α=(∣A∣／λ)2α． 两边同加α，得到(A*)2+E]α=(∣A∣／λ)2α+α=[(∣A∣／λ)2+1]α． 由定义即知，(∣A∣／λ) 2+l为(A*) 2+E的一个特征值．
解析
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考研数学二

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