设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

admin2019-11-25 85

问题设A为n阶矩阵，A₁₁≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A^*b＝0．

选项

答案设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0，于是A^*b＝A^*AX＝｜A｜X＝0．反之，设A^*b＝0，因为b≠0，所以方程组A^*X＝0有非零解，从而r(A^*)＜n，又A₁₁≠0，所以r(A^*)＝1，且r(A)＝n－1．因为r(A^*)＝1，所以方程组A^*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而 A^*A＝0，所以A的列向量组a₁，a₂，…，a_n为方程组A^*X＝0的一组解向量．由A₁₁≠0，得a₂，…，a_n线性无关，所以a₂，…，a_n是方程组A^*X＝0的基础解系．因为A^*b＝0，所以b可由a₂，…，a_n线性表示，也可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，故r(A)＝r([*])＝n－1＜n，即方程组AX＝b有无穷多个解．

解析

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考研数学三

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