设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1.

admin2021-01-19 109

问题设A=E一ξξ^T，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明：(1)A²=A的充要条件是ξ^Tξ=1.

选项

答案利用矩阵乘法的结合律证明． A²=(E一ξξ^T)(E一ξξ^T)=E一2ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E一2ξξ^T+(ξ^Tξ)ξξ^T． ① 如果A²=A，则E一2ξξ^T+(ξ^Tξ)ξξ^T=E一ξξ^T，即ξξ^T(1一^Tξ)=0．因ξ≠0，故ξξ^T≠0．因而1一ξ^Tξ=0，即ξ^Tξ=1．反之，如果ξ^Tξ=1，则由式①有A²=E一2ξξ^T+ξξ^T=E一ξξ^T=A．

解析

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