2. 考研
  3. 设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，X1、X2分别为属于λ1、λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．

设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，X1、X2分别为属于λ1、λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．

admin2018-08-03  39
问题 设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，X1、X2分别为属于λ1、λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．
选项
答案可用反证法：若X1+X2是A的属于特征值λ0的特征向量，则有A(X1+X2)=λ0(X1+X2)．得AX1+AX2=λ0(X1+X2)，→λ1X1+λ2X2=λ0X1+λ0X2，→(λ1—λ0)X1+(λ2一λ0)X2=0，因为X1与X2线性无关，→λ1—λ0=0，λ2一λ0=0，→λ1=λ0=λ2，这与λ1≠λ2矛盾．
解析
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考研数学一

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