2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．求证：存在ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋(2－ξ)f(ξ)＝0．

设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．求证：存在ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋(2－ξ)f(ξ)＝0．

admin2016-03-16  49
问题 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．求证：存在ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋(2－ξ)f(ξ)＝0．
选项
答案令F(χ)＝χ2e-χf(χ)． 由题意，显然F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导． 因为f(0)f(1)＜0，所以由零点定理知，存在η∈(0，1)，使得f(η)＝0， 从而有F(η)＝0，F(0)＝0． 所以再由Rolle定理得，存在ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得 F′(ξ)＝0[*]2ξf(ξ)e-ξ－ξ2f(ξ)e-ξ＋ξ2e-ξf′(ξ)＝0
解析
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考研数学二

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