设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2021-11-09 81

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f_u’(u，v)+f_v’(u，v)=uv。求y(x)=e^-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案由y(x)=e^一2xf(x，x)，两边对x求导有， y’=一2e^一2xf(x，x)+e^一2xf₁’(x，x)+e^一2xy₂’(x，x) =一2e^一2xf(x，x)+e^一2x[f₁’(x，x)+f₂’(x，x)] =一2y+e^一2x[f₁’(x，x)+f₂’(x，x)]。已知f_u’(u，v)+f_v’(u，v)=uv，即f₁’(u，v)+f₂’(u，v)=uv，则f₁’(u，v)+f₂’(x，x)=x²。因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x²e^-2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 [*]

解析

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