2. 考研
  3. 设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)。 (Ⅰ)求S=SA的表达式； (Ⅱ)当a取何值时，面积SA最小?

设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)。 (Ⅰ)求S=SA的表达式； (Ⅱ)当a取何值时，面积SA最小?

admin2021-01-28  118
问题 设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)。
    (Ⅰ)求S=SA的表达式；
    (Ⅱ)当a取何值时，面积SA最小?
选项
答案(Ⅰ)设另一个切点为(x0，x02)，则抛物线y=x2的两条切线分别为 L1：y=2ax-a2，L2：y=2x0x-x02， 因为L1⊥L2，所以x0=-1/4a，两条切线L1，L2的交点为x1=(a+x0)/2，y1=ax0，L1，L2及抛物线y=x2所围成的面积为 SA=∫x0x1[x2-(2x0x-x02)]dx+∫x10[x2-(2ax-a2)]dx=(1/12)(a+1/4a)2。 (Ⅱ)令S’A=(1/4)(a+1/4a)2(a-1/4a)2=0得a=1/2，因为当a∈(0，1/2)时，S’A＜0，当a＞1/2时，S’A＞0，所以当a=1/2时，面积SA取最小值。
解析
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考研数学三

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