设矩阵A= 试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X-1AX=B．

admin2017-10-25 63

问题设矩阵A=

试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X^-1AX=B．

选项

答案(Ⅰ)由于f=2x^-1+2x^-1+2x^-1-2x₁x₂-2x₂x₃-2x₁x₃，二次型对应的矩阵为A，则有 [*] 所以矩阵A的秩为2． (Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则 [*] 可知λ₁=0，λ₂=λ₃=3．当λ₁=0时，特征向量η₁=(1，1，1)^T，将η₁单位化后得r₁=[*] 当λ₂=λ₃=3时，特征向量η₂=(-1，1，0)^T，η₃=(-1，0，1)^T，对η₂，η₃施行施密特正交化得 β₂=η₂=(一1，1，0)^T， [*] 再将β₂，β₃单位化，得r₂=[*] 故正交变换矩阵Q=[*]，且有x=Qy，使f=3y₂²+3y₃²．

解析

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