设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，χ1、χ2分别是属于λ1、λ2的特征向量．证明：χ1＋χ2不是A的特征向量．

admin2017-12-23 62

问题设λ₁，λ₂是n阶矩阵A的两个不同特征值，χ₁、χ₂分别是属于λ₁、λ₂的特征向量．证明：χ₁＋χ₂不是A的特征向量．

选项

答案用反证法：若χ₁＋χ₂是A的属于特征值λ₀的特征向量．则有A(χ₁＋χ₂)＝λ₀(χ₁＋χ₂)，即Aχ₁＋Aχ₂＝λ₀χ₁＋λ₀χ₂，因Aχ_i＝λ_iχ_i(i＝1，2)，得(λ₁－λ₀)χ₁＋(λ₂－λ₀)χ₂＝0，由于属于不同特征值的特征向量χ₁与χ₂线性无关，得λ₁－λ₀＝0＝λ₂－λ₀[*]λ₁＝λ₂，这与λ₁≠λ₂发生矛盾．

解析

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