设0＜a＜b，证明：不等式成立．

admin2020-05-02 30

问题设0＜a＜b，证明：不等式

成立．

选项

答案先证[*] 令[*]当x＞a＞0时，有 [*] 故当x＞a时，g(x)单调减少，又g(a)=0，所以当x＞a时，g(x)＜g(a)=0，即 [*] 从而当0＜a＜b时，[*] 再证[*] 方法一设f(x)=(x²+a²)(lnx－lna)－2a(x－a)(x＞a＞0)，当x＞a＞0时，有 [*] 故当x＞a时，f(x)单调递增．又f(a)=0，所以当x＞a时，f(x)＞f(a)=0，即 (x²+a²)(lnx－lna)－2a(x－a)＞0 从而当0＜a＜b时，有(a²+b²)(lnb－lna)－2a(b－a)＞0，即[*] 方法二设f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使 [*] 由于O＜a＜ξ＜b，故[*]从而[*]

解析

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