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  3. 设A是n阶反对称矩阵。 证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。

设A是n阶反对称矩阵。 证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。

admin2019-03-23  71
问题 设A是n阶反对称矩阵。
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。
选项
答案根据反对称矩阵的定义：AT= —A，则 ｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(—1)n｜A｜， 即[1—(—1)n]｜A｜=0。 若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。 因为AT= —A，则由(A*)T=(AT)*有 (A*)T=(AT)*=(—A)*。 又因(lA)*=ln—1A*，故当n=2k+1时，有 (A*)T=(—1)2kA*=A*， 即A*是对称矩阵。
解析
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考研数学二

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