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  3. 数列{an)收敛的充要条件是：{a2k-1}与{a2k}收敛于相同的极限值．

数列{an)收敛的充要条件是：{a2k-1}与{a2k}收敛于相同的极限值．

admin2022-10-31  52
问题 数列{an)收敛的充要条件是：{a2k-1}与{a2k}收敛于相同的极限值．
选项
答案必要性 已知{an}收敛，设[*]an=a，则对[*]ε＞0，[*]N，当n＞N时，｜an-a｜＜ε，于是，当2k-1＞N，即k＞N1=[*](N+1)时，｜a2k-1-a｜＜ε； 当2k＞N，即k＞N2=N／2时，｜a2k-a｜＜ε． 这就是说[*]a2k-1=a,[*]a2k=a 充分性 已知[*]a2k-1=[*]a2k=a．则对[*]ε＞0，必存在N1，N2，使得当k＞N1时有｜a2k-1-a｜＜ε；当k＞N2时有｜a2k-a｜＜ε．取K=max{N1，N2}，当k＞K时同时有 ｜a2k-1-a｜＜ε，｜a2k-a｜＜ε 由于k＞K，相当于2k-1＞2K-1，2k＞2K，因此可取N=2K，则当n＞N时，总有｜an-a｜＜ε，即[*]an=a．
解析
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考研数学一

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