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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0．试证明：在[0，π]内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0．试证明：在[0，π]内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2019-06-30  85
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0．试证明：在[0，π]内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则F(0)=F(π)=0。 又因为 0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=[F(x)cosx]0π+∫0πF(x)sinxdx =∫0πF(x)sinxdx 所以存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，因为若不然，则在(0，π)内恒正或者恒负，均与 ∫0πF(x)sinxdx=0矛盾。 但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，所以只有F(ξ)=0。 由以上可知，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0； 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在两个不同的点ξ1∈[0，ξ]，ξ2 ∈[ξ，π]，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即得到： 在[0，π]内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。
解析
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经济类联考综合能力

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