2. 考研
  3. 已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex， (1)求f(x)的表达式； (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点．

已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex， (1)求f(x)的表达式； (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点．

admin2019-03-12  109
问题 已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，
(1)求f(x)的表达式；
(2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点．
选项
答案(1)齐次微分方程f”(x)+f’(x)一f(x)=0的特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=-2， 所以其通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x． 再由 f”(x)+f(x)=2ex 得 2C1ex+5C2e-2x=2ex， 比较函数可得 C1=1，C2=0． 故 f(x)=ex [*] 令y”=0得x=0． 为了说明x=0是y”=0唯一的解，我们来讨论y”在x＞0和x＜0时的符号． 当x＞0时， [*] 可知y”＞0； 当x＜0时， [*] 可知y”＜0； 因此x=0是y”=0唯一的解． 同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x2)∫0xf(-t2)dt， 在x=0左右两边的凹凸性相反，可知(0，0)点是曲线y=f(x2)∫02f(一t2)dt唯一的拐点．
解析
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考研数学三

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