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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 问A能否相似对角化;若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵A;若不能,请说明理由.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 问A能否相似对角化;若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵A;若不能,请说明理由.
admin
2017-07-11
60
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
问A能否相似对角化;若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵A;若不能,请说明理由.
选项
答案
对于矩阵B,求方程组(E—B)x=0的基础解系,可得B的属于特征值λ=1的两个线性无关的特征向量η
1
=(一1,1,0)
T
,η
2
=(一2,0,1)
T
. 求方程组(4E—B)x=0的基础解系,可得B的属于特征值λ=4的特征向量η
3
=(0,1,1)
T
. 令P
1
=(η,η,η),则有P
1
一1
BP
1
=[*]从而有 P
1
一1
C
一1
ACP
1
=[*] 即(CP
1
)
一1
A(CP
1
)=[*] 故矩阵A可相似对角化,且相似变换矩阵为 P=CP
1
=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=(一α
1
+α
2
,一2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
).
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/4AH4777K
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考研数学三
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