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在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．
在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．
admin
2023-03-22
24
问题
在第一卦限内作椭球面
的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．
选项
答案
设切点坐标为M(x
0
，y
0
，z
0
)，F(x，y，z)=[*]-1，则 n=(F’
x
，F’
y
，F’
z
)=[*] 因此过M点的切面方程为 [*](x-x
0
)+[*](y-y
0
)+[*](z-z
0
)=0， 即 [*] 于是切平面在三个坐标轴上的截距依次为a
2
／x
0
，b
2
／y
0
，c
2
／z
0
．切平面与三个坐标轴所围成的四面体体积为[*]的条件下求[*]的最小值，即求函数xyz的最大值．构造拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=xyz+λ[*] 则 [*] (1)×x+(2)×y+(3)×z并代入(4)得 [*] 解得唯一可能极值点[*]由问题的性质知，所求切点为最小值点[*]，四面体的最小值为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/48gD777K
0
考研数学三
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