2. 公务员
  3. 过抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上一点A(a，0)(a＞0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=一a作垂线，垂足分别为M1、N1． 记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3．是否存在λ，使得对任意的a＞0

过抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上一点A(a，0)(a＞0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=一a作垂线，垂足分别为M1、N1． 记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3．是否存在λ，使得对任意的a＞0

admin2019-06-01  20
问题 过抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上一点A(a，0)(a＞0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=一a作垂线，垂足分别为M1、N1．
记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3．是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
选项
答案存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下： 记直线l与x轴的交点A1，则∣OA∣=∣OA1∣，于是有： S1[*]·∣MM1∣·∣A1M1∣=[*](x1+a)∣y1∣，S2=[*]·∣M1N1∣·∣AA1∣=a∣y1－y2∣， S3=[*]·∣NN1∣·∣A1N1∣=[*](x2+a)∣y2∣． ∴S22=4S1S3[*](a∣y1－y2∣)2=(x1+a)∣y1∣(x2+a)∣y2∣[*]a2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+a(x1+x2)+a2]∣y1y2∣．将①、②、③代入上式化简可得a2(4m2p2+8ap)=2ap(2am2p+4a2)[*]4a2p(m2p+2a)=4a2p(m2p+2a)，上式恒成立．即对任意a＞0，S22=4S1S3成立．
解析
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