2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f"(x)＞0，设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(zx0，0)，证明a＜x0＜b。

已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f"(x)＞0，设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(zx0，0)，证明a＜x0＜b。

admin2021-01-19  145
问题 已知函数f(x)在区间[a，+∞)上具有二阶导数，f(a)=0，f’(x)＞0，f"(x)＞0，设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(zx0，0)，证明a＜x0＜b。
选项
答案切线方程为y=f’(b)(x－b)+f(b)，与x轴的交点为(b－[*]，0)，则有 x0=b－[*] 由于f’(x)＞0，可知f(b)＞f(a)=0，故b－[*]＜b。 下面证明b－[*]＞a，由于f’(b)＞0，故不等式可化为bf’(b)－f(b)＞af’(b)，则令 g(x)=xf’(x)－f(x)－af’(x)，g(a)=0，g’(x)=(x－a)f"(x)＞0， 可知当x＞a时，g’(x)＞0。故xf’(x)－f(x)－af’(x)＞0，即b－[*]＞a，证毕。
解析
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考研数学二

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