设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(0,0)(t，t2)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．

admin2019-01-25 59

问题设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫_L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫_(0,0)^(t，t²)dx+xcosydy=t²，求f(x，y)．

选项

答案∫_Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关<=> [*] 积分得 f(x，y)=siny+C(x)．求f(x，y)转化为求C(x)． f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx =sinydx+xdsiny+d[∫₀^xC(s)ds]=d[xsiny+∫₀^xC(s)ds] => [xsiny+∫₀^xC(s)ds]｜_(0，0)^(t，t²)=t²，即tsint²+∫₀^lC(s)ds=t² <=> sint²+2t²cost²+C(t)=2t．因此 f(x，y)=siny+2x—sinx²一2x²cos²．

解析

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