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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3， (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3， (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．
admin
2012-05-31
94
问题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
＝α
2
＋α
3
，
(I)证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
(Ⅱ)令P＝(α
1
，α
2
，α
3
)，求P
－1
AP．
选项
答案
(I)假设α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则α
3
可由α
1
，α
2
线性表出， 可设α
3
＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
，其中k
1
，k
2
不全为0， 否则由等式Aα
3
＝α
2
＋α
3
得到α
2
＝0，不符合题设． 因为α
1
，α
2
为矩阵A的分别属于特征值－1，1的特征向量，所以Aα
1
＝－α
1
，Aα
2
＝α
2
， 则Aα
3
＝A(k
1
α
1
＋k
2
α
2
)＝－k
1
α
1
＋k
2
α
2
＝α
2
＋k
1
α
1
＋k
2
α
2
． [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/3pC4777K
0
考研数学二
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