设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中反对称矩阵( )

admin2021-04-07 56

问题设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中反对称矩阵( )

选项 A、(AB)²
B、BAB
C、AB－BA
D、AB＋BA

答案D

解析 (AB)²显然不是反对称矩阵，故可排除A，进一步，可对其他3个选项逐一验证，因为A^T＝A，B^T＝－B，所以(BAB)^T＝B^TA^TB^T＝BAB，故排除B。
而(AB－BA)^T＝B^TA^T－A^TB^T＝－BA＋AB，这表明AB－BA是对称矩阵，故排除C。
而(AB＋BA)^T＝B^TA^T＋A^TB^T＝－BA－AB＝－(AB＋BA)，所以D为正确选项。

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