2. 考研
  3. 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。 证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。 证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

admin2019-07-23  19
问题 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。
证明：
    (Ⅰ)秩r(A)≤2；
    (Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。
选项
答案(Ⅰ) r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。 (Ⅱ)若α，β线性相关，则存在不全为零的k1，k2使k1α+k2β=0，不妨设k2≠0，则β=kα，那么 r(A)=r[ααT+(kα)(kα)T]=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤1＜2。
解析
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考研数学一

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